Unidad 3. Representacion grafica de funciones, Calculo integral de areas

Simetria

Diremos que una funcion tiene simetria par si se cumple que $f(-x)=f(x)$ para todo $x$ en el dominio de la funcion. Por ejemplo, la funcion $f(x)=x^2$ tiene simetria par porque $f(-x)=(-x{)}^2=x^2=f(x)$.

Diremos que una funcion tiene simetria impar (respecto al origen de coordenadas) si se cumple que f(-x)=-f(x) para todo x en el dominio de la funcion. Por ejemplo, la funcion $f(x)=x^3$ tiene simetria impar porque $f(-x)=(-x{)}^3=-x^3=-f(x)$.

Par

Impar

Ejemplos

$\begin{array}{r}f(x)=x^4-8x^2+3\\ f(-x)=(-x{)}^4-8(-x{)}^2+3=x^4-8x^2+3=f(x)\\ \text{Simetria Par}\end{array}$

$\begin{array}{r}g(x)=9x^3-5x\\ g(-x)=9(-x{)}^3-5(-x)=-9x^3+5x=-f(x)\\ \text{Simetria Impar}\end{array}$

$\begin{array}{r}h(x)=5x^2-x\\ h(-x)=5(-x{)}^2-(-x)=5x^2+x\ne h(x)\\ \text{No tiene simetria}\end{array}$

Periodicidad

Diremos que una funcion tiene un periodo T si para todo x de su dominio se cumple que $f(x+T)=f(x)$. Por ejemplo, la funcion $f(x)=\sin (x)$ tiene periodo $2\pi$ porque $\sin (2\pi +x)=\sin (x)$.

Representacion Grafica de funciones

$f(x)=x^3-3x^2-4$

Dominio

$Dom(f)=\mathbb{R}$

Continuidad

Continua en todo su dominio

Simetria

$$\begin{array}{r}f(x)=x^3-3x^2-4\\ f(-x)=(-x{)}^3-3(-x{)}^2-4=-x^3-3x^2-4\ne f(x)\\ \text{No hay simetria}\end{array}$$

Periodicidad

No hay perioricidad. Es un polinomio

Puntos de corte con los ejes

$$\begin{array}{r}f(0)=-4\\ f(x)=0\Rightarrow x^3-3x^2-4=0\Rightarrow (x-1)(x^2+4x+4)\Rightarrow x^2-4x+4=0\Rightarrow x=-2,x=-2\end{array}$$

Crecimiento y decrecimiento

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=3x^2-6x=0 \\ x(3x+6)\Rightarrow x=0,x=2 \end{gathered}$$

Asintotas

No hay

Funciones exponenciales y logaritmicas

$y=x^2$

x	y
-2	1/4
-1	1/2
0	1
1	2
2	4

$y=lo{g}_2(x)$

x	y
1/4	-2
1/2	-1
1	0
2	1
4	2

Calculo integral y Calculo de Primitivas

Calculo de areas

$\text{Rectification de Curvas}\Rightarrow \text{Determinar rectas tangentes}\Rightarrow \text{Integral}$

$\text{Cuadratura de figuras planas}\Rightarrow \text{Calcular areas}\Rightarrow \text{Integral}$

$$\begin{array}{r}f(x)=5x^2+7-1\\ f^{\prime }(x)=10x+7\\ f^{\prime }(x)=10x+7\Rightarrow \text{Primitiva}=5x^2+7x+C\end{array}$$ $$\begin{array}{r}\underset{n\to 0}{\lim }=\frac{f(a-h)-f(a)}{h}\end{array}$$

Dada f(X) diremos que F(x) es una primitiva suya si se cumple que $F^{\prime }(x)=f(x)$

Ejemplo

$$\begin{array}{r}\text{Dada}f(x)=3x^2+5\\ F^{\prime }(x)=x^3+5x\text{ es una primitiva de }f(x)\\ F^{\prime \prime }(x)=x^3+5x+8\text{ es una primitiva de }f(x)\\ F^{\prime \prime \prime }(x)=x^3+5x-10.000\text{ es una primitiva de }f(x)\end{array}$$

Integral indefinida de $f(x)$

$$\begin{array}{r}\int f(x)dx\\ \int (3x^2+5)dx\\ x^3+5x+C\end{array}$$

Ejemplos

$$\begin{gathered} \int (x+5)dx=\frac{x^2}{2}+5x+C \\ \int (20x^{4}dx)=\frac{20x^5}{5}+C=4x^5+C \end{gathered}$$

Cambio de variable

$$\begin{gathered} \int (\frac{x^2+2}{x^3+6x+1})dx \\ t=x^3+6x+1 \\ dt=(3x^2+6)dx \\ \int (\frac{1}{3}-\frac{1}{3}dt=\frac{1}{3}\int (\frac{1}{t})dx=\frac{1}{3}\times \ln (|t|)+C \\ \frac{1}{3}\times \ln |x^3+6x+1|+C \end{gathered}$$

Calculo de areas

$${\int }_1^4(3x+1)dx={\left[\frac{3x^2}{2}+x\right]}_1^4=\left[\frac{3\times 4^2}{2}+4\right]-\left[\frac{3\times 1^2}{2}+1\right]=25.5{\overline{u}}^2$$

Area delimitada entre dos curvas

$$\begin{gathered} S_1={\int }_b^{a}g(x)dx \\ {S}_2={\int }_b^{a}f(x)dx \\ S=S_1-S_2\Rightarrow S={\int }_b^a(g(x)dx-{\int }_b^{a}f(x)dx \\ S={\int }_b^a(g(x)-f(x))dx \end{gathered}$$