Unidad 1. Funciones, Limites y Continuidad

Funcion

La funcion es una relacion entre dos magnitudes A una se le llama dominio y a la otra imagen (recorrido). De manera que a cada valor del dominio le corresponde como maxmio un valor de la imagen

Dominio de algunas familias de funciones

Poliniomios

$$\begin{gathered} f(x)=5x^3-7x^2+2x-0 \\ \text{Dom}(f)=\mathbb{R} \end{gathered}$$

Racionales

$$\begin{array}{l}g(x)=\frac{4x-3}{x^2-3x+2}\\ Dom(g)=\mathbb{R}-\{1,2\}\end{array}$$

Iracionales

$$\begin{array}{l}h(x)=\sqrt{2x+8}\\ Dom(h)=\subset -4,+\infty \subset \end{array}$$

Exponenciales

$$\begin{array}{l}f(x)=3^{2}x-7\\ Dom(f)=\mathbb{R}\end{array}$$

Logaritmicas

$$\begin{array}{l}k(x)=\log x-9\\ Dom(k)=\subset 9,+\infty \subset \end{array}$$

Composicion de Funciones

$$\begin{array}{l}(fog)(x)=f(g(x))\\ f(\frac{2}{\sqrt{x+1}})=\sqrt{\frac{2}{\sqrt{x+1}}+1}\end{array}$$

Limites

Limite de una funcion en un punto

Diremos que el limite de una funcion cuando x tiende a $a$ es $b$ cuando conforme $x$ toma valores proxims a $a$, $f(x)=$ toma valores proximos a $b$

$$\begin{array}{l}f(x)=4x-x^2\\ {\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}(4x-x^2)\end{array}$$

x	y		x	y
0.9	2.78		1.1	3.19
0.99	2.9799		1.01	3.0199
0.999	2.99799		1.001	3.001999

Propiedades de los limites

$$\begin{array}{l}f(x)=x^2-1\\ g(x)=5x\\ {\lim }_{x\to 2}(f(x)+g(x))={\lim }_{x\to 2}(x^2-1+5x)=13\end{array}$$ $$\begin{array}{l}{\lim }_{x\to 2}(f(x))+{\lim }_{x\to 2}(g(x))={\lim }_{x\to 2}(x^2-1)+{\lim }_{x\to 2}(5x)=3+10=13\end{array}$$

Limites Infinitos

$$\begin{array}{l}{\lim }_{x\to -1}(\frac{2}{(x+1{)}^2})=\frac{2}{0}=\infty \\ {\lim }_{x\to -1^{-}}(\frac{2}{(x+1{)}^2})=+\infty \\ {\lim }_{x\to -1^{+}}(\frac{2}{(x+1{)}^2})=+\infty \end{array}$$

Limites en el infinito

$$\begin{array}{l}{\lim }_{x\to \infty }(-3x^2+x+7)={\lim }_{x\to +\infty }(=3x^2)=-\infty \\ {\lim }_{x\to -\infty }(5x^3-3x+1)={\lim }_{x\to -\infty }(5x^3)=-\infty \end{array}$$

Indeterminaciones

Cuando calculamos limites nos podemos encontrar situaciones en las que el resultado sea

• Infinito
• 0
• Un valor finito distinto de 0

A estas situaciones las llamamos “indeterminaciones”, hay 7

$$\begin{array}{ccccccc}\frac{0}{0}& \frac{\infty }{\infty }& \infty -\infty & 0\cdot \infty & 1^{\infty }& {\infty }^0& 0^0\end{array}$$

Ejemplos

$$\begin{array}{l}{\lim }_{x\to +\infty }(\frac{x^3+x^2-6x}{x^3+5x})=\frac{\infty }{\infty }\\ {\lim }_{x\to +\infty }(\frac{x^3}{x^3})=1\end{array}$$

Asintotas

Verticales

$$\underset{x\to a}{\lim }(f(x))=\pm \infty \to x=a$$

Horizontales

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }(f(x)=b)\to y=b$$

Oblicuas

$$\{\begin{array}{l}{\lim }_{x\to \pm \infty }(\frac{f(x)}{x})=m\ne 0\\ {\lim }_{x\to \pm \infty }(f(x)-mx)=n\end{array}$$

Continuidad de una funcion en un punto

Diremos que una funcion es continua en $x=a$ cuando se cumplan 3 condiciones

$$\begin{array}{rl}& \bullet \exists \underset{x\to a}{\lim }f(x)\\ & \bullet \exists f(a)\\ & \bullet \underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)\end{array}$$