Unidad 2. Derivadas

Derivada de una funcion en un punto

Dada la funcion $f(x)$ y el punto $a$ diremos que su derivada en $x=a$ se define como:

$f^{\prime }(a)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Ejemplo

$$f(x)=x^2+3x\Rightarrow f^{\prime }(x)=2x+3\Rightarrow \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=7$$

Interpretacion geometrica de la Derivada

La derivada de una funcion en un punto es la pendiente de la recta tangente a la funcoin en dicho punto.

Ejemplo

Hallar la ecuacion de la recta tangente en $f(x)=x^2+3x$ en $x=2$.

$$\begin{gathered} f(2)=10\Rightarrow P(2,10)\Rightarrow m=7 \\ y-b=m(x-a)\Rightarrow y-10=7(x-2)\Rightarrow y=7x-4 \end{gathered}$$

Reglas de derivacion

Polinomios

1. $f(x)=3x^5-6x^3+3x+2\Rightarrow f^{\prime }(x)=15x^4-18x^2+3$
2. $f(x)=a\times x^m\Rightarrow f^{\prime }(x)=m\times a\times x^{m-1}$

Regla de la cadena

$$(v\times u{)}^{\prime }\to [(v(u(x))){]}^{\prime }\Rightarrow v^{\prime }\times (u(x))\times u^{\prime }(x)$$

Funciones Irracionales

$$f(x)=\sqrt{x^3+3x}\Rightarrow (x^3+3x{)}^{1/2}\Rightarrow \frac{1}{2}\times (x^3+3x{)}^{-1/2}\times (3x^2+3)$$

Derivadas sucesivas

$$\begin{gathered} f(x)=x^4-2x^3+7x^2+3x-10 \\ {f}^{\prime }(x)=4x^3-6x^2+14x+3 \\ {f}^{\prime \prime }(x)=12x^2-12x+14 \end{gathered}$$

Aplicaciones de la derivada

Recta Tangente

Hallar la recta tangente a la curva

$y=\frac{x^2+1}{x-3}$ en $x=2$

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=\frac{2x(x-3)-1\times (x^2+1)}{(x-3{)}^2}\Rightarrow f(x)=\frac{x^2-6x+1}{(x-3{)}^2} \\ a=2\Rightarrow f^{\prime }(a)=f^{\prime }(2)\Rightarrow f^{\prime }(2)=-9 \\ y-b=m(x-a)\Rightarrow y-(5)=-9\times (x-2)\Rightarrow y=-9x+13 \end{gathered}$$

Derivabilidad

Diremos que una funcion $f(x)$ es derivable en $x=a$ si se cumple que:

1. $f(x)$ es continua en $x=a$
2. $\exists f^{\prime }(a)$

Ejemplo

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-1& \text{si }x\ge 2\\ 3x-2& \text{si }x\ge 2\end{array}\Rightarrow \underset{x\to 2}{\lim }f(x)=\{\begin{array}{l}{\lim }_{x\to 2^{-}}{x}^2-1=3\\ {\lim }_{x\to 2^{+}}3x-2=4\end{array}\Rightarrow \nexists f^{\prime }(2)\text{ No es derivable}$$

Extremos relativos (Maximos y Minimos)

Intervalos de crecimiento y decrecimiento

• Una funcion derivable sera creciente (decreciente) en un intervalo de su Dominio cuando su derivada ser positiva, &f’(x) \geq 0$(negativa$f’(x) < 0$)
• Diremos que un punto es singular cuando $f^{\prime }(x)=0$
• Un maximo relativo (minimo relativo) es aquel en el que la funcion pasa de ser creciente a decreciente (decreciente a creciente)
• Los intervalos de crecimiento y decrecimiento estaran delimitados por los puntos signulares, puntos de discontinuidad y puntos de cambio de definicion de la funcion
• Si una funcion es derivable en un maximo o minimo relativo, su derivada valdra 0

Concavidad y Convexidad

Puntos de inflexion

Diremos que una funcion es concava hacia arriva (hacia abajo) en un intervalo si en todos sus puntos se cumple que $f^{\prime \prime }(x)>0$ ($f^{\prime \prime }(x)<0$). En un punto en el que la funcion pase de concava hacia arriba a concava hacia abajo o viceversa se la llamara punto de inflexion o punto de silla y si tiene segunda derivada esta valdra 0